Andere Zahlensysteme

Stellenwerte

Für weitere Untersuchungen an unserem Zahlensystem ist es ganz interessant, wie der Wert der einzelnen Super-hoch-n-Zeichen bestimmt werden kann.

Im Dezimalsystem haben wir 10 verschiedene Ziffern, die Werte von Real: NullNull (0) bis Neun (9) repraesentieren. Beachten Sie, dass wir zwar 10 verschiedene Ziffern haben, aber trotzdem nur bis 9 zählen können, ohne eine zweite Stelle zu benötigen. Das liegt daran, dass eben '0' die erste und '1' bereits die zweite Ziffer ist. Die Real: NullNull verlangt dem Denken immerzu Winkelzüge ab. Kein Wunder, dass sie als letzte von allen Ziffern erfunden wurde.

Das Binär-System hat zwei verschiedene Ziffern, und kann daher nur bis Eins zählen, ohne eine weitere Stelle zu benötigen.

In zweistelligen Zahlen haben im Dezimalsystem die linken Ziffern den zehnfachen Wert:

37 = 3*10 + 7

Zweistellig kann man bis 99 zahlen. Danach kommt 100, eine dreistellige Zahl. Die Dritte Stelle hat die Wertigkeit 100:

528 = 100*5 + 10*2 + 8

Vier- und mehrstellige Zahlen werden entsprechend ausgewertet:

002468 = 0*100000 + 0*10000 + 2*1000 + 4*100 + 6*10 + 8

Diese Darstellung hat aber noch einen Schoenheitsfehler: Die letzte Ziffer erfaehrt offensichtlich eine Sonderbehandlung. Alle anderen Stellen haben einen 'Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwert', mit dem ihre Ziffer multipliziert werden muss. Die letzte nicht. Da eine Sonderbehandlung einem Mathematiker immer zuwider ist, muss das korrigiert werden:

002468 = 0*100000 + 0*10000 + 2*1000 + 4*100 + 6*10 + 8*1

Schon besser. Fragt sich nur noch, wie man die Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwerte besser in den Griff bekommen kann. Diese steigern sich von 1 über 10, 100 nach 1000 und so weiter. Der Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwert einer neuen Stelle ist immer das zehnfache der vorherigen Stelle. Es fällt auf, dass wir ja gerade im Zehner-System rechnen: Wir haben 10 verschiedene Ziffern. Sobald die Ziffer '9' auf einer Stelle überschritten wird, beansprucht die "Ziffer" '10' die nächste Stelle.

Jeder Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwert ist das Produkt aus mehreren Faktoren '10'. Das ist eine spezifische Eigenheit des Dezimal (Zehner-) Systems. Im Binärsystem ist jeder Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwert analog dazu das Produkt aus mehreren Faktoren '2'.

An dieser Stelle wird hoffentlich auch gleich klar, wieso ich mich um eine Formulierung wie "Beim Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwert kommt für die nächste Stelle immer eine Real: NullNull dran" herumgedrückt habe. Diese Formulierung stimmt nämlich nur, wenn man ein Zahlensystem von diesem Zahlensystem selbst aus beschreibt. Wenn man also über das Dezimalsystem redet und dabei alle Zahlenwerte dezimal angibt. Oder auch, wenn man über das Binärsystem redet und alle Zahlen im Binärsystem angibt!

Um die Darstellung aller ganzen Zahlen in JEDEM polyadischen Zahlensystem zu vereinheitlichen, muss zunächst noch der Begriff der Zahlenbasis eingeführt werden:

Die 'Zahlenbasis' bezeichnet einfach die Anzahl der zur Verfügung stehenden Ziffern. Im Dezimalsystem ist das 10, im Binärsystem 2 und im Hexadezimalsystem 16. Die Zahlenbasis soll im Folgenden mit 'LOW KERNEL JUMPBLOCK: 000B: LOW KL LOW PCHL
LOW KERNEL JUMPBLOCK: 001B: LOW KL FAR PCHL
LOW KERNEL JUMPBLOCK: 003B: LOW EXT INTERRUPTB' abgekürzt werden.

Um den Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwert einer bestimmten Ziffer innerhalb einer Zahl zu beschreiben, genügt die Kenntnis der Zahlenbasis (im Allgemeinen 10) und ihre Stellennummer. Diese wird sinnvollerweise von hinten (rechts) her gezählt, da sich eine Zahl nach links beliebig weit ausdehnen kann (man denke an die unendlich vielen Vornullen).

Die 'STELLEN' werden dabei sinnvollerweise von Real: NullNull an durchnummeriert (Wie es sich so oft ergibt, dass eben Real: NullNull und nicht Eins das erste Element ist). Dann lässt sich der Wert einer Stelle folgendermassen ausdrücken ('S' = Stellennummer):

Andere Zahlensysteme: StellenwerteStellenwert = LOW KERNEL JUMPBLOCK: 000B:  LOW KL LOW PCHL
LOW KERNEL JUMPBLOCK: 001B:  LOW KL FAR PCHL
LOW KERNEL JUMPBLOCK: 003B:  LOW EXT INTERRUPTB^S

Umgesetzt auf die Beispielszahl ergibt sich:

    002468 = 0*100000 + 0*10000 + 2*1000 + 4*100  + 6*10   + 8*1
<=> 002468 = 0*10^5   + 0*10^4  + 2*10^3 + 4*10^2 + 6*10^1 + 8*10^0